函数与导数中常用的函数和不等关系

前言

高考中在压轴题中考查的函数有千千万,但是总能从其中找到一些比较核心的函数来;

\(e^x\geqslant ex\)\(\cfrac{1}{e}x\geqslant \ln x\)

常用函数

比如基本初等函数\(f(x)=x\)\(g(x)=e^x\)做四则运算得到的这些函数:

\(h(x)=x\pm e^x\)

\(m(x)=x\cdot e^x\)\(n(x)=\cfrac{e^x}{x}\)\(r(n)=\cfrac{x}{e^x}\)

【2016宝鸡市二检理科第11题】若函数\(f(x)=x\cdot e^x-a\)有两个零点,则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.(\cfrac{1}{e},+\infty)$ $B.(-\infty,\cfrac{1}{e})$ $C.(-\cfrac{1}{e},+\infty)$ $D.(-\cfrac{1}{e},0)$

分析:若熟知上图的图像,分离参数,数形结合可得正确选项为\(D\)

比如基本初等函数\(f(x)=x\)\(g(x)=\ln x\)做四则运算得到的这些函数:

\(h(x)=x\pm \ln x\)

\(h(x)=x\cdot \ln x\)\(h(x)=\cfrac{\ln x}{x}\)

可以将他们作为导数工具的练习对象,熟练掌握他们的函数图像,有助于我们快速判断解题思路,作图时要注意因子\(e^x\)\(\ln x\)

常用不等式

  • ①、\(e^x>x+1(x\neq 0)\)

证明思路:

【法1】数形结合法,令\(f(x)=e^x\)\(g(x)=x+1\),在同一个坐标系中作出这两个函数的图像,

由图像可知,当\(x\neq 0\)时,都满足关系\(e^x>x+1\)

补充:至于函数\(f(x)=e^x\)和函数\(g(x)=x+1\)为什么会相切与点\((0,1)\)

我们可以用导数方法来解答

【法2】作差构造函数法,令\(h(x)=e^x-x-1\),则\(h'(x)=e^x-1\)

\(x<0\)时,\(h'(x)<0\);当\(x>0\)时,\(h'(x)>0\)

即函数\(h(x)\)\((-\infty,0)\)上单调递减,在\((0,+\infty)\)上单调递增,

故函数\(h(x)_{min}=h(0)=0\),故\(h(x)\ge 0\),当且仅当\(x=0\)时取到等号,

\(x\neq 0\)时,总有\(h(x)>0\),即\(e^x>x+1\)

  • ②、\(e^x\geqslant x+1\),注意没有\(x\neq 0\)的条件限制。
  • ③、\(\ln x\leq x-1(x>0)\)

证明思路:【法1】数形结合法,令\(f(x)=\ln x\)\(g(x)=x-1\)

在同一个坐标系中作出这两个函数的图像,

由图像可知,当\(x> 0\)时,都满足关系\(\ln x\leq x-1\)

【法2】:作差构造函数法,令\(h(x)=\ln x-x+1(x>0)\),则\(h'(x)=\cfrac{1}{x}-1\)

\(0<x<1\)时,\(h'(x)>0\);当\(x>1\)时,\(h'(x)<0\)

即函数\(h(x)\)\((0,1)\)上单调递增,在\((1,+\infty)\)上单调递减,

故函数\(h(x)_{max}=h(1)=0\),故\(h(x)\leq 0\),当且仅当\(x=1\)时取到等号,

\(x> 0\)时,总有\(h(x)\leq 0\),即\(\ln x\leq >x-1\)

【法3】利用反函数法,此法主要基于\(e^x\ge x+1\)的结论,

由于函数\(y=e^x\)以及函数\(y=x+1\)关于直线\(y=x\)的对称函数

分别是\(y=\ln x\)和函数\(y=x-1\),故得到\(\ln x\leq x-1\)

【法4】:利用代数变换,由\(e^x\ge x+1\),两边取自然对数得到\(lne^x\ge ln(x+1)\)

\(x\ge ln(x+1)\),再用\(x-1\)替换\(x\),得到\(x-1\ge \ln x\),即\(\ln x\leq x-1\)

高阶变形

\(e^x\ge x+1\)的常见变形:

比如,用\(x+1\)替换\(x\),则上式变形为\(e^{x+1}\geqslant x+2\),用\(x-1\)替换\(x\),则上式变形为\(e^{x-1}\geqslant x\)

同理可得到,\(\Rightarrow e^{x+2}\geqslant x+3\),当然,也可以得到 $\Rightarrow e^{x+n}\ge x+n+1(n\in N^*) $

当然,也可以得到 \(e^{\frac{1}{3n}}>\cfrac{1}{3n}+1(等号取不到)\)

\(\ln x\leq x-1(x>0)\)的常见变形:

\(x+n\ge ln(x+n+1)(x\neq 1)\)

\(x-1> \ln x \xrightarrow{用\cfrac{1}{x}替换x} \cfrac{1}{x}-1> ln\cfrac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow \cfrac{1-x}{x}>-\ln x \Leftrightarrow \ln x>\cfrac{x-1}{x}=1-\cfrac{1}{x}\)

\(ln\cfrac{1}{x+1}\leq \cfrac{1}{1+x}-1(x>-1) \Leftrightarrow (1+x)ln(1+x)\ge x\)

\(x>0\)时,\(ln(x+1)<x\),故\(\cfrac{1}{x}ln(x+1)<1\)

\(ln(x+1)^{\cfrac{1}{x}}<1=lne\),故\((x+1)^{\frac{1}{x}}<e\)

将此结论应用到自然数得到\((n+1)^{\cfrac{1}{n}}<e\),或者\((1+\cfrac{1}{n})^n<e\)

\(x\Rightarrow \ln x\),得到\(x\geqslant \ln x+1\).

典例剖析

【2016山东青岛一模】已知函数\(f(x)=sinx-ax\)

(1).对于\(x\in(0,1)\)\(f'(x)>0\)恒成立,求实数\(a\)的取值范围。

分析:利用\(cosx-a>0\)\(x\in(0,1)\)恒成立,可以求得\(a<cos1\)

(2).当\(a=1\)时,令\(h(x)=f(x)-sinx+\ln x+1\),求\(h(x)\)的最大值。

分析:此时\(h(x)=\ln x-x+1\),如果能知道结论\(\ln x\leq x-1\)

即可知\(h(x)_{max}=h(1)=0\)。或利用导数也可以求得\(h(x)_{max}=h(1)=0\)

(3).求证:\(ln(n+1)<1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)

分析:看到这样的不等式关系,我们应该想到的有裂项相消法、数学归纳法,

法1: 由(2)的结论\(\ln x \leq x-1\)得到\(ln(x+1)\leq x(x\neq 0)\)

若将其延伸到自然数,则有\(ln(n+1)<n\),再做代换,

\(\cfrac{1}{n}\)替换\(n\),变形得到\(ln(\cfrac{1}{n}+1)<\cfrac{1}{n}\)

\(ln(\cfrac{n+1}{n})=ln(n+1)-lnn<\cfrac{1}{n}\)

令此式中的\(n\)分别取\(1,2,3,\cdots,n\),即得到以下\(n\)个表达式:

\(ln\cfrac{2}{1}<1\);即\(ln2-ln1<1\)

\(ln\cfrac{3}{2}<\cfrac{1}{2}\);即\(ln3-ln2<\cfrac{1}{2}\)

\(ln\cfrac{4}{3}<\cfrac{1}{3}\);即\(ln4-ln3<\cfrac{1}{3}\)

\(\cdots\)\(\cdots\)

\(ln\cfrac{1+n}{n}<\cfrac{1}{n}\);即\(ln(n+1)-lnn<\cfrac{1}{n}\);以上式子累加,得到

\(ln(n+1)-ln1<1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}\)

\(ln(n+1)<1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}(n\in N^*)\)

法2:可以考虑用数学归纳法,待后思考。

求证:\((1+\cfrac{1}{3})\cdot (1+\cfrac{1}{3^2})\cdot(1+\cfrac{1}{3^3})\cdots (1+\cfrac{1}{3^n})<2\)

证明:先用导数证明\(e^x\ge x+1\),再做代换,用\(\cfrac{1}{3^n}\)替换\(x\)

得到\(e^{\frac{1}{3^n}}>\cfrac{1}{3^n}+1\);即\(1+\cfrac{1}{3^n}<e^{\cfrac{1}{3^{n}}}\)

\((1+\cfrac{1}{3})\cdot (1+\cfrac{1}{3^2})\cdot(1+\cfrac{1}{3^3})\cdots (1+\cfrac{1}{3^n})\)

\(<e^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}}\)

\(=e^{\cfrac{\frac{1}{3}\cdot[1-(\frac{1}{3})^n]}{1-\frac{1}{3}}}\)

\(=e^{\cfrac{1}{2}(1-\cfrac{1}{3^n})}<e^{\cfrac{1}{2}}=\sqrt{e}<\sqrt{4}=2\)

故得证。

【2019\(\cdot\)徐州调研】设函数\(f(x)=a x^{2}-a-\ln x\)\(g(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{e}{{e}^{x}}\),其中\(a\in R\)\(e=2.718\cdots\)为自然对数的底数.

(1).讨论 \(f(x)\) 的单调性;

分析:当 \(a \leqslant 0\) 时, \(f^{\prime}(x)<0\), \(f(x)\)\((0,+\infty)\) 上单调递减,

\(a>0\) 时, 由 \(f^{\prime}(x)=0\)\(x=\cfrac{1}{\sqrt{2a}}\)

\(x\in(0, \cfrac{1}{\sqrt{2a}})\) 时,\(f^{\prime}(x)<0\)\(f(x)\) 单调递减;

\(x \in(\cfrac{1}{\sqrt{2a}},+\infty)\) 时, \(f^{\prime}(x)>0\), \(f(x)\) 单调递增.

(2).证明: 当 \(x>1\) 时,\(g(x)>0\)

证明: 一般我们会想到求\(g(x)_{min}>0\),但是直接求最小值可能会很复杂,如果变形后估计就可能比较简单;

\(s(x)={e}^{x-1}-x\), 则 \(s^{\prime}(x)={e}^{x-1}-1\)

\(x>1\) 时, \(s^{\prime}(x)>0\), 所以 \(s(x)>s(1)\), 即 \({e}^{x-1}>x\)

从而 \(g(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{e}{e^{x}}=\cfrac{e(e^{x-1}-x)}{xe^{x}}>0\)

故当 \(x>1\) 时, \(g(x)>0\).

解关于 \(a\) 的不等式\(0<\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}\)

解:原不等式等价于\(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{a}{e^a}>0①\\\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}②\end{array}\right.\)

解①得到,\(a>0\)

②式化简为\(e^{a-1}>a\)③,

利用 \(y=e^{a-1}\)\(y=a\) 图像可得,\(e^{a-1}\geqslant a\)

故解③式得到,\(a\neq 1\)

即原双连不等式的解集为\(a\in (0,1)\cup (1,+\infty)\)

【2021届宝鸡市质检3文第21题】 已知函数 \(f(x)=2 \ln x-x^{2}+1\).

(1)求函数 \(f(x)\) 的最大值;

解析: \(f'(x)=\cfrac{2}{x}-2x=\cfrac{2(1-x^{2})}{x}(x>0)\)

\(x \in(0,1)\) 时, \(f'(x)>0\), 函数 \(f(x)\) 在此区间上是增加的;

\(x \in(1,+\infty)\) 时, \(f'(x)<0\), 函数 \(f(x)\) 在此区间上是减少的,

所以,当 \(x=1\) 时,函数 \(f(x)\) 取得唯一极大值 \(f(1)=0\),

所以函数 \(f(x)\) 的最大值为 \(0\).

(2)证明 \(: 3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2 n+1}{n^{2}}>2\ln(n+1)(n \in N^{*})\).

【证法1】: 由(1)可知,当 \(x>1\) 时, \(f(x)<0\), 即 \(2 \ln x<x^{2}-1\)

\(x=\cfrac{n+1}{n}(n\in N^{*})\), 则 \(2\ln\cfrac{n+1}{n}<(\cfrac{n+1}{n})^{2}-1=\cfrac{2n+1}{n^{2}}\)

\(\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2\ln\cfrac{n+1}{n}\)

所以 \(3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2(\ln\cfrac{2}{1}+\ln\cfrac{3}{2}+\cdots+\ln\cfrac{n+1}{n})\)

\(=2[(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+\cdots+(\ln (n+1)-\ln n)]=2\ln(n+1)(n\in N^{*})\)

\(3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2\ln(n+1)\) \((n\in N^{*})\), 证毕.

【证法2】:由常用的不等关系 \(e^x>x+1\) (\(x>0\)) 开始证明,

\(g(x)=e^x-x-1\),则 \(g'(x)=e^x-1\),由于 \(x>0\) ,则 \(g'(x)>0\)

故函数 \(g(x)\) 在区间 \((0,+\infty)\) 上单调递增,故 \(g(x)>g(0)\),即 \(e^x>x+1\)

\(x=\cfrac{2n+1}{n^2}>0\) ,则 \(e^{\cfrac{2n+1}{n^2}}>\cfrac{2n+1}{n^2}+1=\cfrac{(n+1)^2}{n^2}\)

两边取自然对数得到,\(\cfrac{2n+1}{n^2}>ln\cfrac{(n+1)^2}{n^2}=2\ln(n+1)-2\ln n\)

\(n\)分别赋值\(n=1\)\(2\)\(3\)\(\cdots\)\(n\),得到

\[\cfrac{3}{1^2}>2\ln2-2\ln1, \]

\[\cfrac{5}{2^2}>2\ln3-2\ln2, \]

\[\cfrac{7}{3^2}>2\ln4-2\ln3, \]

\[\cdots,\cdots,\cdots, \]

\[\cfrac{2n+1}{n^2}>2\ln(n+1)-2\ln n, \]

以上 \(n\) 个式子累加,得到

\(3+\cfrac{5}{2^{2}}+\cfrac{7}{3^{2}}+\cdots+\cfrac{2n+1}{n^{2}}>2\ln(n+1)\) \((n\in N^{*})\).

【证法3】:理科学生还可以利用数学归纳法证明;

【2022届高三文数用题】已知 \(a=\pi-3\)\(b=\ln\pi-\ln3\)\(c=e^{\pi}-e^3\) ,其中 \(\pi\)\(e\) 分别为圆周率、自然对数的底数,则 【】

$A.a< b < c$ $B.b < c < a$ $C.c< b < a$ $D.b< a < c$

提示:需要将选项变形后,再构造函数,\(f(x)=x+lnx\)\(g(x)=e^x-x\),答案为 \(D\)

【2022届高三文数用题】【多选题】已知 \(a>b>1\)\(e\) 为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是 【】

$A.ae^a >be^b$ $B.a\ln b >b\ln a$ $C.a\ln a> b\ln b$ $D.be^a>ae^b$

提示:选项 \(A\) 正确,依托函数 \(y=x\cdot e^x\)来比较;选项 \(B\) 正确,依托函数 \(y=\cfrac{\ln x}{x}\)来比较;

选项 \(C\) 正确,依托函数 \(y=x\cdot \ln x\)来比较;选项 \(D\) 正确,依托函数 \(y=\cfrac{e^x}{x}\)来比较;

故选择 \(A、C、D\)

【2022届宝鸡市质检一文理科数学第12题】已知 \(a>1\)\(b>1\) ,下列关系式不可能成立的是【】

$A.e^b\ln a\leqslant ab$ $B.e^b\ln a\geqslant ab$ $C.ae^b\geqslant b\ln a$ $D.ae^b\leqslant b\ln a$

提示:对选项 \(A、B\) 做适当的变形后会发现,其实是比较函数 \(y=\cfrac{\ln x}{x}\) 与函数 \(y=\cfrac{x}{e^x}\)的大小关系;它们都可能成立;

对选项 \(C、D\) 做适当的变形后会发现,其实是比较函数 \(y=\cfrac{e^x}{x}\) 与函数 \(y=\cfrac{\ln x}{x}\)的大小关系;其中 \(D\) 不可能成立,故选 \(D\)

【2021东北师范大学附中模拟改编】 证明:\(xe^x-\ln x-x-1\geqslant 0\)

转化如下:即 \(xe^x-1\geqslant \ln x+x\)

\(e^{\ln x}e^x\geqslant \ln x+x+1\)

\(e^{\ln x+x}\geqslant \ln x+x+1\)

\(\ln x+x=t\),即 \(e^{t}\geqslant t+1\)

或这样转化: \(xe^x-1\geqslant x+\ln x=\ln(xe^x)\)

\(xe^x=t\),则 \(t-1\geqslant \ln t\)

posted @ 2018-04-14 09:55  静雅斋数学  阅读(1544)  评论(2编辑  收藏  举报
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